知识点总结与练习题
核心概念 (Core Concept)：连续随机变量可以取某一区间内的所有值。
定义 (Definition)：一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形。
概率密度函数 (Probability Density Function)：
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
内容 (Content)：对于正态分布，数据落在以下区间的百分比：
应用 (Application)：快速估计数据分布情况和异常值识别
题目：某班级数学考试成绩服从正态分布，均值μ = 75分，标准差σ = 10分。
a) 估计有多少百分比的学生得分在65-85分之间？
b) 估计有多少百分比的学生得分在55-95分之间？
c) 估计有多少百分比的学生得分超过95分？
解题步骤：
题目：某工厂生产的零件重量服从正态分布，均值μ = 100g，标准差σ = 2g。
a) 计算零件重量在96g到104g之间的概率估计
b) 如果生产了2000个零件，估计有多少个零件重量超过106g？
解题步骤：
解释正态分布的主要特征，并说明为什么它在统计学中如此重要。
Explain the main characteristics of a normal distribution and why it is so important in statistics.
答题区域：
写出正态分布的概率密度函数，并解释每个参数的含义。
Write the probability density function of a normal distribution and explain the meaning of each parameter.
答题区域：
假设某城市的气温服从正态分布，均值为20°C，标准差为5°C。使用经验法则回答：
a) 大约有多少百分比的气温在15°C到25°C之间？
b) 大约有多少百分比的气温在10°C到30°C之间？
c) 大约有多少百分比的气温在5°C到35°C之间？
答题区域：
某工厂生产的零件长度服从正态分布，均值为10厘米，标准差为0.2厘米。规定零件长度在9.6厘米到10.4厘米之间为合格。
a) 使用经验法则估计合格率。
b) 如果生产了1000个零件，大约有多少个零件会不合格？
答题区域：
设随机变量X服从正态分布N(50, 100)。
a) 写出X的概率密度函数。
b) 计算均值μ和标准差σ。
c) 使用经验法则估计P(40 ≤ X ≤ 60)。
d) 使用经验法则估计P(X ≥ 70)。
答题区域：
主要特征：
重要性：
正态分布的概率密度函数为：\[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
参数含义：
已知μ = 20°C，σ = 5°C
a) 15°C到25°C是μ ± σ范围，根据经验法则，约68%的气温在此范围内。
b) 10°C到30°C是μ ± 2σ范围，根据经验法则，约95%的气温在此范围内。
c) 5°C到35°C是μ ± 3σ范围，根据经验法则，约99.7%的气温在此范围内。
已知μ = 10厘米，σ = 0.2厘米
a) 合格范围是9.6厘米到10.4厘米，即μ ± 2σ。根据经验法则，约95%的数据在此范围内，因此合格率约为95%。
b) 不合格率约为5%，因此1000个零件中约有1000 × 5% = 50个不合格。
a) X的概率密度函数为：\[ f(x) = \frac{1}{10\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-50)^2}{200}} \]
b) 均值μ = 50，标准差σ = 10（因为方差σ² = 100）
c) P(40 ≤ X ≤ 60) 是μ ± σ范围的概率，约为0.68
d) P(X ≥ 70) 是X大于μ + 2σ的概率，约为0.025